Personal | 2007/01/17 13:00
시험 준비하는 동생이 문제하나를 들고 와서 물어보았다. 내용은 다음과 같다.
1주일에 한번 발매 하는 복권이 있다. 지금까지 20회가 진행되었다.
A는 매회 복권을 샀지만 한번도 안되었다.
B도 매회 복권을 샀고, 대부분 당첨되었다.
C는 이번에 처음 산다.
다음 설명중 가장 타당한 것은?
1) A가 B 보다 불리하다
2) B는 A 보다 유리하지 않다
3) C가 가장 유리하다.
4) A가 당첨될 확률이 높다.
5) B가 당첨될 확률이 가장 높다.
내가 확률을 잘 못하긴 하지만, 이건 확률 책 펼치면 젤 앞에 나오는 내용인데 위의 지문중에는 답이 없어야 정상이다. 왜냐 하면 매회 각 사람마다의 기회는 갱신 되기 때문이다. 그런데 이 문제의 답은 'A가 가장 유리하다'이다. 설명도 따로 없다고 하는데 누가 이거 명쾌하게 설명 좀 해줄 수 없나?
저는 2) 라 생각되는데,, ㅋㅋ;; 저만 그런가요?
이거 문제가 희안하긴 한데, 핵심은 "당첨 확률이 높다" 와 "유리하다"의 의미적 구분이 아닐까?
당첨확률은 어차피 다 똑같다. 그래서 보기에는 답이 없다.
그런데 "유리하다"의 뜻이 "당첨확률이 높다"와 같은 뜻이 아닌것같다.
당첨확률은 모두 같지만 이번에 당첨되지 않았을 때 심리적 충격(손해)가 제일 적은 것은 A이다. A는 어차피 전에도 당첨되지 않았으니까 이번에 당첨안되도 별로 충격이 B보다 들하다. 반면 C는 A와 B의 중간적 충격을 받는다.
이렇게 밖에 해석이 않되는데....
저두 답은 2번으로 생각되는데요? 전에 있었던 결과가 다음에 복권을 사는 것에
확률적으로 보면 전혀 영향을 미치지 못하죠..
위에 분은 저문제를 심리적인 면과 결부시켜서 해석하셨네요..
복권은 지난번의 복권구입이 다음 복권구입에
영향을 주지 않는 독립된 사건입니다.
결론은 어떤놈이나, 복권을 사면 기대금액은 같다는겁니다.
꿈이나, 명단같은거 뺴고 확률적으로는요.
답은
2) B는 A 보다 유리하지 않다
왜냐면 이것은 위의 상황을 완전히 설명해 주지는 못하지만
최소한 (A와 B는 가능성이 같다는 것)에 위배되지 않기 때문입니다.
대부분의 사람들이 그렇게 생각하는데, PSAT에서 정답은 4번이래.. 해설은 없다. - -;;
2번이라 생각할수 있는 이유는 매번 당첨 확률이 같기 때문이죠.
4번이라고 쓴 이유를 제 나름대로 분석해보면... 이런 해석도 가능합니다.
만약 복권이 당첨될 확률이 1%라고 하면 0.01이 되겠죠?
A는 그동안 한번도 당첨이 안되었습니다. 만약 이번에 당첨이 된다면 0.99가 20번 일어나고 0.01이 1번 일어날 확률입니다. 계산을 해보니 8%네요.
B는 그동안 대부분 당첨 되었다고 하네요. 대부분을 50%만 잡고(복권이 이정도면 많은거겠죠?) 생각해보겠습니다.
계산은 0.99가 10번, 0.01이 10번, 이것이 순서에 상관이 없기 때문에 조합인 C를 사용하겠습니다.
20C10 * 0.99^10 * 0.01^10 * 0.01(이번 당첨 확률)
결과값은 1.67 * 10^(-15)%입니다.
C는 처음이니까 1%죠?
굳이 이번에 기대할수 있는 확률은
A > C >> B 라고 계산할수 있습니다만...
그게 거시적 관점이냐, 미시적 관점이냐의 차이라고 봅니다. 굳이 해석이 필요하실것 같아서 해드렸으나, 솔직히... 출제자의 관점에 따라 답이 달라지겠네요. 하핫 -_-;;
아... 참고로 어떤 이가 복권을 샀을 경우에 몇장을 사면 당첨을 기대할수 있는가...란 질문의 경우 대개
당첨 확률이 1%라면 100장 사면 무조건 당첨 되잖아? 라고 할수 있는데요... 실제 공식은 이렇습니다.
1 - 0.99^n 입니다.
(n 은 복권 산 장수, 중복 당첨 허용시))
안타깝게도 100장을 샀을 경우 당첨확률은 63%밖에 안되네요. 계산기로 계산을 했을 경우 95%로 당첨되려면 298장.
100% 당첨되려면 1764장입니다.
아무래도 PSAT는 직관적으로는 그럴싸 하지만 실제로 계산하면 아닌 것을 함정으로 팔것을 좋아하는 것 같아서, 간단한 예제를 올리고 갑니다.
총명아.. 위에서는 답이 A가 유리하다라고 해놓고 밑에서는 왜 또 A가 당첨확률이 가장 높다고 번복하냐. 어떤게 맞는거냐? / 하핫님. 과거의 복권산것과 이번과의 확률은 독립사건이기 때문에 과거에 당첨됐냐 안됐냐는 이번 당첨과 연관시켜서 계산하면 안됩니다. 그리고 문제에 의하면 뉘앙스가 매번마다 복권을 한장사는 것같은데, 한번 당첨에 복권을 몇장사야하느냐로 변형시켜서도 안됩니다.